Lo primero debes realizar una copia de seguridad de tu sitio.
Pon WordPress en modo mantenimiento: WP Maintenance Mode
Descarga la última versión de WordPress aquí y des-comprimelas en tu PC.
Conecta con Filezilla a tu sitio por FTP.
A continuación (re-nombra o borra) las carpetas wp-admin y wp-includes
Sube mediante Filezilla las carpetas: wp-admin y wp-includes
Sube tambien el contenido descargado de wp-content normalmente no hay nada que actualizar en él.
Sube también todos los archivos del raiz: index.php, wp-sample.php, license.txt, etc. Excepto wp-config.php, pero no suele estar
Entra en tu web y ve a wp-admin/upgrade.php para actualizar la base de datos.
Finalmente si todo ha ido bien elimina las carpetas renombradas: wp-admin y wp-includes
Muy buen aporte, llevaba tiempo intentando actualizar wordpress de forma automática y no había manera.
Gracias Antonio, en algunos servidores ocurre precisamente eso, por un tema de permisos mal administrados no son posibles las actualizaciones de WordPress.
En Dinahosting concretamente, me ocurrió que el propietario de los archivos no estaba correcto, solo se podía arreglar por el servicio de técnicos de Dinahosting.